lunes, 18 de junio de 2012

Matemática, 4to. Bachillerato y Cuarto Magisterio


Instituto Normal Centro América J.M.
Cuarto Bachillerato Sección “B”         Cuarto Magisterio Secciones “A”, “B” y “C”


SEGUNDA TAREA DE MATEMÁTICA
PRODUCTOS NOTABLES

Hay ciertos productos de polinomios que aparecen con mucha frecuencia, y por ello conviene recordarlos para hacer más rápida y segura la manipulación algebraica. Estos productos los llamaremos PRODUCTOS NOTABLES.

CUADRADOS DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES (a + b)2 = (a + b) (a + b)
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) El cuadrado del primer término.
2) Más el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad.
3) Más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos:
Desarrollar (2x+7)2
En este polinomio se sabe que el primer término es 2x y el segundo término es 7. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera:
(2x+7)2 = (2x)2 + 2(2x)(7) + (7)2 = 4x2 +28x +49

Desarrollar (m3 + 5)2
En este polinomio se sabe que el primer término es m3 y el segundo término es 5. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera:
(m3 + 5)2 = (m3)2 + 2(m3)(5) + (5)2 = m6 + 10m3 +25

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a – b)2 = (a – b) (a – b)
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) El cuadrado del primer término.
2) Menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad.
3) Más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos:
Desarrollar (6x – 117)2
En este polinomio se sabe que el primer término es 6x y el segundo término es 11. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera:
(6x – 11)2 = (6x)2 – 2(6x) (11) + (11)2 = 36x2 – 132x + 121

Desarrollar (m5 – 13)2
En este polinomio se sabe que el primer término es m5 y el segundo término es 13. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera:
(m5 – 13)2 = (m5)2 – 2(m5)(13) + (13)2 = m10 – 26m5 +169

DIFERENCIA DE CUADRADOS O EL PRODUCTO DE (x + y) (x – y)
Pasos a seguir:
a) El cuadrado del primer término.
b) Menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
Desarrollar (x + ¼) (x – ¼)
En este polinomio se sabe que el primer término es x y el segundo término es ¼.
Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera:
(x + ¼ ) (x – ¼) =  (x)2 – (¼)  = x2 – 1/16
Desarrollar (y2 + 8) (y2 – 8)
En este polinomio se sabe que el primer término es y2 y el segundo término es 8.
Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera.
(y2 + 8) (y2 – 8) = (y2)2 – (8)2 = y4 – 64

 EL CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES (a +b)3
Pasos a seguir:
1) El primer término elevado al cubo
2) Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término.
3) Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término.
4) Más el segundo término elevado al cubo.
Ejemplos:

Desarrollar (6w +8z)3
En este polinomio se sabe que el primer término es 6w y el segundo término es 8z.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos antes indicados.
(6w +8z)3 = (6w)3 + 3(6w)2 (8z) + 3(6w) (8z)2 + (8z)3 =
 216w3 + 864w2 z +1152wz2 + 512z3

Desarrollar (xy + 4m)3
En este polinomio se sabe que el primer término es xy  y el segundo término es 4m.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos antes indicados.
(xy + 4m)3 = (xy)3 + 3(xy)2 (4m) + 3(xy) (4m)2 + (4m)3 =
x3 y3 + 12mx2 y2 +48m2 xy+ 64m

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a – b)3
Pasos a seguir:
1) El primer término elevado al cubo
2) Menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término.
3) Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término.
4) Menos el segundo término elevado al cubo.
Ejemplos:
Desarrollar (z2 – 7y)3
En este polinomio se sabe que el primer término es z2 y el segundo término es 7y.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos antes indicados.
(z2 – 7y)3 = (z2)3 – 3(z2)2 (7y) + 3(z2) (7y)2 – (7y)3 = z6 – 21 yz4  +147 y 2z2 – 343 y3

Desarrollar (d – 6n)3
En este polinomio se sabe que el primer término es d  y el segundo término es 6n.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos antes indicados.
(d – 6n)3 = (d)3 – 3(d)2 (6n) + 3(d) (6n)2 – (6n)3 = d3 – 18d2 n +108 dn2 – 216n3        

EL PRODUCTO DE (x ± a) (x ± b)
Los pasos a seguir son:
a) El primer término elevado al cuadrado.
b) El segundo término se obtiene de la siguiente manera: el primer término sin elevarlo    al cuadrado multiplicado por la suma o resta de los términos a y b, quedando representados así: x(a ± b).
c) El tercer término es la multiplicación de los términos a y b, quedando así: a x b

Ejemplos:
Desarrollar (x+3) (x+2)
Para este producto notable tendremos que el primer término será x, el término a=3 y el término b= 2
  
El primer término es: x2
El segundo término es: x (3+2) = 5x
El tercer término es: 3 x 2 = 6
                                                El resultado del producto notable será: X2 +5X +6

Desarrollar (y – 7) (y +5)

Para este producto notable tendremos que el primer término será y, el término a= - 7
Y el término b= 5

El primer término es: y2
El segundo término es: y ( -7+ 5) =   - 2y
El tercer término es: (-7) (5) = - 35

                                            El  resultado del producto notable será: y2 – 2y – 35
Desarrollar (m – 9) (m – 11)
Para este producto notable tendremos que el primer término será m, el término a = -9
Y el término b= - 11
El primer término es: m2
El segundo término es: m (- 9 – 11) = -20m
El tercer término es: (-9) (-11) = +99           
El resultado del producto notable será: m2 – 20m +99

Desarrollar (c+9) (c – 5)
Para este producto notable tendremos que el primer término será c, el término a= 9 y el término b = -5
El primer término es: c2
El segundo término es: c (9 – 5) = 4c
El tercer término es: (9) (-5) = -45

El resultado del producto notable será: c2 +4c – 45

Ejercicio No. 1
A continuación se le presentan una serie de polinomios, desarrolle los productos notables y deje constancia de su procedimiento. Entregue en hojas aparte el día que se reanuden las clases.

1) Cuadrado de la suma de dos cantidades
a) (x+6)2 =                                                     h) (p+15)2 =
b) (y+9)2 =                                                     i) (k+14)2 =
c) (t+12)2 =                                                    j) (q+19)2 =
d) (m+8)2 =
e) (r+19)2 =
f) (w+7)2 =
g) (n+13)2=

2) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
a) (u – 9)2 =                                                   f) (j – 16)2 =
b) (m –18)2 =                                                 g) (f – 24)2 =
c) (n – 21)2 =                                                 h) (m – 34)2 =
d) (c – 17)2 =                                                 i) (n – 32)2 =
e) (x – 23)2 =                                                 j) (k – 2)2 =

 3) Diferencia de cuadrados
a) (2x +7) (2x – 7) =                                      f) (n2 + 8) (n2 – 8) =
b) (4n – 9) (4n +9) =                                      g) (y + 56) (y – 56)=
c) (5k + 10) (5k – 10) =                                 h) (m + 18) (m – 18) =
d) (2/3 r +4) (2/3 r – 4) =                               i) (u + 17) (u – 17) =
e) (1/3 + 11) (1/3 – 11)=                                j) (h + 20) (h – 20) =

4) El cubo de la suma de dos cantidades:
a) (x+4)3 =                                                     h) (p+2)3 =
b) (y+3)3 =                                                     i) (k+19)3 =
c) (t+13)3 =                                                    j) (q+24)3 =
d) (m+18)3 =
e) (r+14)3 =
f) (w+12)3 =
g) (n+7)3=

5) El cubo de la diferencia de dos cantidades
a) (x – 16)3 =                                                 h) (p – 11) 3 =
b) (y – 8)3 =                                                   i) (k – 23)3 =
c) (t – 11)3 =                                                  j) (q – 5)3 =
d) (m – 17)3 =
e) (r – 15)3 =
f) (w – 10)3 =
g) (n – 13)3=

6) El producto de la forma (x ± a) (x ± b)
a) (x +4) (x- 9)            b) (y – 11) (y – 6)       c) (m – 10) (m +18)    d) (u + 7) (u +19)
e) (t – 8) (t +2)        f) (n + 20) (n +4)         g) (g – 10) (g +5)       h) (n + 15) (n +8)
i) (y +19) (y – 26)     j) (k – 27) (k + 13)


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