Instituto Normal Centro América J.M.
Cuarto Bachillerato Sección “B”
Cuarto Magisterio Secciones “A”, “B” y “C”
SEGUNDA TAREA DE MATEMÁTICA
PRODUCTOS NOTABLES
Hay ciertos productos de polinomios que aparecen con mucha frecuencia, y
por ello conviene recordarlos para hacer más rápida y segura la manipulación
algebraica. Estos productos los llamaremos PRODUCTOS NOTABLES.
CUADRADOS DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES (a + b)2 = (a + b) (a +
b)
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) El cuadrado del primer término.
2) Más el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad.
3) Más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos:
Desarrollar (2x+7)2
En este polinomio se sabe que el primer término es 2x y el segundo
término es 7. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente
manera:
(2x+7)2 = (2x)2 + 2(2x)(7) + (7)2 = 4x2
+28x +49
Desarrollar (m3 + 5)2
En este polinomio se sabe que el primer término es m3 y el
segundo término es 5. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la
siguiente manera:
(m3 + 5)2 = (m3)2 + 2(m3)(5)
+ (5)2 = m6 + 10m3 +25
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a – b)2 = (a – b)
(a – b)
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) El cuadrado del primer término.
2) Menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda
cantidad.
3) Más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos:
Desarrollar (6x – 117)2
En este polinomio se sabe que el primer término es 6x y el segundo
término es 11. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente
manera:
(6x – 11)2 = (6x)2 – 2(6x) (11) + (11)2
= 36x2 – 132x + 121
Desarrollar (m5 – 13)2
En este polinomio se sabe que el primer término es m5 y el
segundo término es 13. Para desarrollar el producto notable lo haremos de la
siguiente manera:
(m5 – 13)2 = (m5)2 – 2(m5)(13)
+ (13)2 = m10 – 26m5 +169
DIFERENCIA DE CUADRADOS O EL PRODUCTO DE (x + y) (x – y)
Pasos a seguir:
a) El cuadrado del primer término.
b) Menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
Desarrollar (x + ¼) (x – ¼)
En este polinomio se sabe que el primer término es x y el segundo término
es ¼.
Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera:
(x + ¼ ) (x – ¼) = (x)2
– (¼) = x2 – 1/16
Desarrollar (y2 + 8) (y2 – 8)
En este polinomio se sabe que el primer término es y2 y el
segundo término es 8.
Para desarrollar el producto notable lo haremos de la siguiente manera.
(y2 + 8) (y2 – 8) = (y2)2 –
(8)2 = y4 – 64
EL CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES (a +b)3
Pasos a seguir:
1) El primer término elevado al cubo
2) Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo
término.
3) Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo
término.
4) Más el segundo término elevado al cubo.
Ejemplos:
Desarrollar (6w +8z)3
En este polinomio se sabe que el primer término es 6w y el segundo
término es 8z.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos
antes indicados.
(6w +8z)3 = (6w)3 + 3(6w)2 (8z) + 3(6w)
(8z)2 + (8z)3 =
216w3 + 864w2
z +1152wz2 + 512z3
Desarrollar (xy + 4m)3
En este polinomio se sabe que el primer término es xy y el segundo término es 4m.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos
antes indicados.
(xy + 4m)3 = (xy)3 + 3(xy)2 (4m) + 3(xy)
(4m)2 + (4m)3 =
x3 y3 + 12mx2 y2 +48m2
xy+ 64m3
EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a – b)3
Pasos a seguir:
1) El primer término elevado al cubo
2) Menos el triple producto del cuadrado del primer término por el
segundo término.
3) Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo
término.
4) Menos el segundo término elevado al cubo.
Ejemplos:
Desarrollar (z2 – 7y)3
En este polinomio se sabe que el primer término es z2 y el
segundo término es 7y.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos
antes indicados.
(z2 – 7y)3 = (z2)3 – 3(z2)2
(7y) + 3(z2) (7y)2 – (7y)3 = z6 –
21 yz4 +147 y 2z2
– 343 y3
Desarrollar (d – 6n)3
En este polinomio se sabe que el primer término es d y el segundo término es 6n.
Para desarrollar este producto notable lo haremos siguiendo los pasos
antes indicados.
(d – 6n)3 = (d)3 – 3(d)2 (6n) + 3(d)
(6n)2 – (6n)3 = d3 – 18d2 n +108 dn2
– 216n3
EL PRODUCTO DE (x ± a) (x ± b)
Los pasos a seguir son:
a) El primer término elevado al cuadrado.
b) El segundo término se obtiene de la siguiente manera: el primer
término sin elevarlo al cuadrado
multiplicado por la suma o resta de los términos a y b, quedando representados
así: x(a ± b).
c) El tercer término es la multiplicación de los términos a y b, quedando
así: a x b
Ejemplos:
Desarrollar (x+3) (x+2)
Para este producto notable tendremos que el primer término será x, el
término a=3 y el término b= 2
El primer término es: x2
El segundo término es: x (3+2) = 5x
El tercer término es: 3 x 2 = 6
El resultado del
producto notable será: X2 +5X +6
Desarrollar (y – 7) (y +5)
Para este producto notable tendremos que el primer término será y, el
término a= - 7
Y el término b= 5
El primer término es: y2
El segundo término es: y ( -7+ 5) =
- 2y
El tercer término es: (-7) (5) = - 35
El resultado del producto notable
será: y2 – 2y – 35
Desarrollar (m – 9) (m – 11)
Para este producto notable tendremos que el primer término será m, el
término a = -9
Y el término b= - 11
El primer término es: m2
El segundo término es: m (- 9 – 11) = -20m
El tercer término es: (-9)
(-11) = +99
El resultado del producto
notable será: m2 – 20m +99
Desarrollar (c+9) (c – 5)
Para este producto notable
tendremos que el primer término será c, el término a= 9 y el término b = -5
El primer término es: c2
El segundo término es: c (9
– 5) = 4c
El tercer término es: (9)
(-5) = -45
El resultado del producto
notable será: c2 +4c – 45
Ejercicio No. 1
A continuación se le
presentan una serie de polinomios, desarrolle los productos notables y deje
constancia de su procedimiento. Entregue en hojas aparte el día que se
reanuden las clases.
1) Cuadrado de la suma de
dos cantidades
a) (x+6)2 = h)
(p+15)2 =
b) (y+9)2 = i)
(k+14)2 =
c) (t+12)2 = j)
(q+19)2 =
d) (m+8)2 =
e) (r+19)2 =
f) (w+7)2 =
g) (n+13)2=
2) Cuadrado de la diferencia
de dos cantidades.
a) (u – 9)2 = f)
(j – 16)2 =
b) (m –18)2 = g)
(f – 24)2 =
c) (n – 21)2 = h)
(m – 34)2 =
d) (c – 17)2 = i)
(n – 32)2 =
e) (x – 23)2 = j)
(k – 2)2 =
3) Diferencia de cuadrados
a) (2x +7) (2x – 7) = f) (n2
+ 8) (n2 – 8) =
b) (4n – 9) (4n +9) = g) (y + 56) (y – 56)=
c) (5k + 10) (5k – 10) = h) (m + 18) (m
– 18) =
d) (2/3 r +4) (2/3 r – 4) = i) (u + 17) (u –
17) =
e) (1/3 + 11) (1/3 – 11)= j) (h + 20) (h –
20) =
4) El cubo de la suma de dos
cantidades:
a) (x+4)3 = h)
(p+2)3 =
b) (y+3)3 = i)
(k+19)3 =
c) (t+13)3 = j)
(q+24)3 =
d) (m+18)3 =
e) (r+14)3 =
f) (w+12)3 =
g) (n+7)3=
5) El cubo de la diferencia
de dos cantidades
a) (x – 16)3 = h)
(p – 11) 3 =
b) (y – 8)3 = i)
(k – 23)3 =
c) (t – 11)3 = j)
(q – 5)3 =
d) (m – 17)3 =
e) (r – 15)3 =
f) (w – 10)3 =
g) (n – 13)3=
6) El producto de la forma (x ± a) (x ± b)
a) (x +4) (x- 9) b) (y – 11) (y – 6) c) (m – 10) (m +18) d) (u + 7) (u +19)
e) (t – 8) (t +2) f) (n + 20) (n +4) g) (g – 10) (g +5) h) (n + 15) (n +8)
i) (y +19) (y – 26) j) (k – 27) (k + 13)